과학밸리 논쟁에서 과학에 대해 무지한 사람이 끼어들어 모욕하는 경우
이전에, TheodoricTheGreat님이 제 글에서 Cylindrical Coordinates에서 Divergence를 유도하는 부분에서 V 내의 점의 좌표를 나타낸 방법에 대하여, 질문한 적이 있지요. 그 때에도 대답을 하였는데, 전에 이야기한 이야기가 불명료한 것 같습니다. 그러니, 제대로 이야기해 볼까 합니다. 수학에서의 이야기를 시작해 보죠.
좌표평면이라는 게 있습니다. 좌표평면 위의 점 (3,2)는 "삼 콤마 이"라는 식으로 읽지, "삼센티미터 콤마 사센티미터"나 "삼미터 콤마 사미터", "삼척 콤마 사척"이라고 읽지 않습니다. 마찬가지로 점 (0,0)과 (0,1) 사이의 거리는 "일"이지 "일센티미터"나, "일미터"나, "일척"이 아닙니다. (왜 그렇나고요? (3,2)에 단위가 안 써 있으니까요. 적힌 대로 읽으면 됩니다.)
하지만 점 (0,0), (1,0), (0,1)로 이루어진 삼각형의 세 각은 "구십도", "사십오도", "사십오도"이지, "구십", "사십오", "사십오"가 아닙니다. 뭔가 통일성이 없지요. 각도도, '도' 같은 거 빼고 그냥 숫자만 읽을 수 없을까요? 가능합니다. 한 바퀴를 파이라는 수의 2배라고 하면 됩니다. 그러면 "구십도" 대신 "이분의 파이", "사십오도" 대신 "사분의 파이"라고 부를 수 있게 됩니다.(이 방법 외의 다른 방법으로 해도 불가능한 건 아니지만, 나~중에 문제가 생깁니다) 이렇게 읽는 방법을 호도법이라고 하죠. 이 때, "일"이라고 부르는 각을 "일 라디안"이라고도 하긴 하는데, 여기서는 "일도"와 구별해 주기 위해서 사족으로 "라디안" 이란 말을 붙여 준 것 뿐일 뿐, 안 붙여도 아무런 상관이 없습니다. 그리고, 수학, 특히 미적분학에서 나오는 공식들은 대개 바로 위의 방법으로 각을 읽을 때 성립하는 공식들입니다.
이제 물리적인 이야기를 추가합시다. 수학에서는 어차피 머릿속으로만 하니까 위에서처럼 "미터"니 "센티미터"니 "척"이니 그런 이야기를 할 필요가 없지만, 물리에서는 필요합니다. 왜 필요하냐 하면, 그냥 1이라고 쓰면 이게 어떤 길이인지 도무지 알 수 없지 않겠습니까? 지구의 반지름? TheodoricTheGreat님의 키? 뭔지 모르지요. 그래서, 1이 어떤 길이를 나타내는지 정해 주고, 그걸 "단위"로 표시하게 됩니다. 가령, 1m는 빛이 2억 9979만 2458 분의 1초 동안 이동한 거리입니다. 1초는 어떤 특정한 현상이 일어나는 데 걸리는 시간의 91억 9263만 1770배라는 시간입니다. 이렇게 모든 것에 단위를 일일이 지정해 줘야 할까요? 그렇지 않습니다. 수학에서, 가로의 길이가 1, 세로의 길이가 1인 정사각형의 넓이는 1입니다. 물리로 오면, 가로의 길이가 1m, 세로의 길이가 1m인 정사각형의 넓이를 생각해야 하고, 이걸 1m^2라고 정할 수 있습니다. 이런 식으로 단위를 정해 나간다면, 길이나 시간 같은 기본적인 것만 정해 주고, 나머지는 이에 따라 자동적으로 정해 주도록 하면 됩니다.(실제로 정해 주어야 할 기본적인 것은 7개입니다) 그리고 이렇게 하면, 수학에서의 결과에서, 각각의 값에 해당하는 단위만 붙여 주면, 물리에서 문제 없이 바로 사용할 수 있습니다.
추가적인 이야기. 이 문단은 보조적이지만, 헷갈릴 수 있기에 덧붙여 둡니다. 위에서, 길이 1을 1m로 했다면 넓이 1은 1m^2로 해야 합니다. 1cm^2 같은 식으로 일관되지 않게 하면, 문제가 생깁니다. 한편, 이런 식으로 단위를 붙이려고 하면, 각도에는 단위를 붙일 필요가 없다(!)는 것을 알 수 있습니다. 왜 그럴까요? 읽는 분들의 생각에 맡기겠습니다.
다시 돌아옵시다. 물리학에서는 생각을 표현할 때 수학이라는 언어로 표현합니다. 그리고 물리학에 Divergence라는 개념이 있지요. 그러면 이를 표현하는 건 수학이고, 계산하는 것도 수학입니다. 그리고 제 글은 Divergence의 표현과 계산에 관한 글이니까, 분야를 굳이 고르자면 수학입니다. 그러니, 저는 수학에서 사용되는 방법대로 글을 작성하였죠. 그런 의미에서, x건, y건, z건, theta건, phi건 그냥 숫자만 읽으면 되고, 숫자만 생각하면 됩니다. (r, theta, phi) 같은 데서 r이건, theta건, phi건 그냥 숫자입니다. r이 "삼미터"니, "오척" 등등이 되는 게 아니라 그냥 "삼", "오" 등이 되는 거고, 이건 theta간 phi건 마찬가지입니다. 그냥 "파이" 등등이지요. 덧붙이자면, 위에서 말했듯이, rdrdtheta 같은 공식들은 모두 r이건 theta건 숫자만 홀로 읽고 있을 때 성립하는 공식입니다. 이런 맥락을 생각하면, a<r<a+L, b<theta<b+L에서 a, r, L, b, theta 모두 그냥 숫자입니다. 그렇기 때문에, 제 글에서의 그 표현에는 특별히 문제가 될 게 없죠. TheodoricTheGreat님의 말대로 a<r<a+L_r, b<theta<b+L_theta 등으로 써도 되긴 하지만, 굳이 문자를 많이 만들 필요가 없다고 생각해서 그냥 L로 써 두었습니다.(문자가 많아지면, 읽는 사람이 번거로워질 수 있습니다)
글이 써 있는 대로 읽는 것, 간단한 듯 하면서도 쉽지 않은 일입니다. 확실하게 말한다면, 여기서 써 있는 대로 읽는다는 것은 글을 쓴 사람이 쓰려고 한 대로 읽는다는 측면과 정말로 글자가 적혀 있는 대로 읽는다는 측면을 균형 있게 모두 가지고 있는 것입니다.그 이유는 글 안에는 글자 그대로의 의미와 글을 쓴 사람이 의도한 바가 모두 담겨 있기 때문입니다. 이런 두 가지 모두를 정확하게 읽어 낸다는 말로 이해하면 됩니다. (물론, 이러한 것은 글을 쓰는 사람이 정상적으로 썼을 때에 가능한 일이고, 글을 쓰는 사람이 이상하게 글을 썼다면 글을 쓴 사람이 쓰려고 한 대로 읽으려고 해도 그렇게 읽을 수 없는 경우도 있습니다.)
이는 분명 쉽지 않은 일이지만, 이에 가까워질수록 온갖 오해와 싸움이 줄어들 수 있으리라고 봅니다. 사족을 달자면, 대학수학능력시험 언어영역에서 문제를 맞추기 위하여 필요한 지적 능력(또는 스킬이라고 할 수도 있을지도 모르겠습니다)이 바로 글이 써 있는 대로 읽는 겁니다. 그리고 다른 영역도 이러한 측면을 어느 정도 가지고 있습니다. 학력고사보다 수능이 조금 더 나은데, 나은 점 중 하나가 이것입니다.
덧글
ㅐㅐㅐ 2011/11/30 08:56 # 삭제 답글
수학 잘 하시나나 봅니다. 글을 써진대로 읽으실 수 있다니. 빈정거리는 말 아닙니다. 저는 Rudin의 해석학을 첨 볼 때, 한 페이지 보는데 한 시간 정도 걸리더라구요. 문제는 글이 써진대로 안 읽혀서 읽다가 다시 보고 다시 보고...
라마르틴 2011/11/30 11:03 #
본인이 수학 잘 한다고 칭찬해놓고 빈정거리는 말 아니라고 하니까 도리어 빈정거리는 말 같애.
Lunarist 2011/11/30 16:48 #
글을 써 있는 대로 읽는 것을 제가 할 수 있다는 의미에서 위의 이야기를 한 것은 아닙니다. 그렇게 하려고 노력할 뿐이지요.
라마르틴 2011/11/30 11:05 # 답글
자세한 설명 감사합니다. 교과서에서 이런 설명 지금까지 한 번도 못 본 것 같은데. 사소한 것 같지만 충분히 오개념을 형성할 수 있는 부분임.
Lunarist 2011/11/30 16:51 #
수학과 과학을 배우면서 관습적으로 익히게 되는 부분이 아닌가 합니다. 그렇기에 오개념이 형성되어도 그 사실을 잘 인지하지 못할 수도 있겠다는 생각이 드네요.
TheodoricTheGreat 2011/12/01 21:44 # 답글
너무 넌센스입니다. 이것은 수학의 한 장르로서 물리학까지 갈것도 아닙니다. 기학학에서도 rad단위가 길이나 공간 단위와 덧셈으로 연결되는 것을 보신적이 있으십니까?전에도 말씀드렸지만, 5 rad + 3 = 8 입니까???????
5 rad의 각도랑 3의 길이를 더하면 8의 길이가 나옵니까? 아니죠. 라디안은 기하학적 개념이고요. 물리학의 문제가 아닙니다. 수학 개념을 임의로 끌어다 붙이는 것은 Lunarist 님 자신입니다.
그리고 님은 rdrdtheta 의 공식을 쓰셨습니다. 거기서 theta는 분명 rad 임이 분명합니다. 그런데 공간에 대해서는 님의 말대로 단위가 생략되어 있습니다. 단위가 없는 것과 단위가 있는 것과 덧셈연산이 가능하다고 보십니까? rad은 곱셈으로 길이단위와 결합되지 않는 이상은 절대로 길이와 덧셈으로 연결될 수 없습니다. 즉 l 이 처음 단위가 없다고 하고 순수하게 상대적인 것에 비해 뒤의 각도에 쓰인 l은 단위가 확정되어 있었다는 말입니다. 님이 rdrdtheta공식을 쓰는 순간 말입니다.
Lunarist 2011/12/02 01:38 #
수학에서는 단위가 생략되어 있는 게 아니라, 단위가 "없는" 겁니다. 그냥 숫자라는 말도 위에서 한 바 있습니다. 1바퀴를 2π rad로 표시하는 방법으로 표시된 각은 "마찬가지로" 취급됩니다. rad라는 건 있으나마나이고, 바로 위에서 말한 단위가 없는 것들과 동등하게 취급됩니다. rad라는 건 장식이에요. 이건 근대 수학 때부터 내려오는 겁니다.수학에서는 x + sinx라는 표현도 사용됩니다. 그러면 이를 어떻게 해석하실 겁니까?
위의 다섯 줄, 특히 첫 문장과, 제 글을 차근차근 다시 읽고 질문해 주십시요. 첫 문장을 이해하려고 노력하세요. (길이든 각이든 첫 문장의 적용 대상입니다.) 마지막으로, 사고를 전환하려고 노력하세요. 단위를 생각하는 사고에서 단위를 생각하지 않는 사고로 말입니다.
아래 댓글 http://lunarist.egloos.com/297013#66268.01 에 한 말을 한번 더 할까 합니다. "어떤 것에 대한 의문은 좋은데, 그 의문이 그것이 틀렸다는 확신으로 흐르면 곤란합니다."
TheodoricTheGreat 2011/12/02 05:26 #
근데 자꾸 말이 겉도는 것 같네요. Lunarist님은 자꾸 제가 한 말을 직접 반박하지 않고, 필요한 것만 떼다가 장관설을 덧붙인다는 느낌이 드네요.수학에서 x+sinx 가능하죠. 근데 수학 중에서도 <기하학>문제로 넘어갔을 때도 그게 가능한가는 꼼꼼히 따져봐야 할 문제라는 겁니다. 귀하의 증명은 <기하학>의 틀에서 이루어진 것입니다. <기하학>에서 각도를 길이와 동등한 양으로 취급한다는 것이 말이 된다고 생각하십니까? <기하학>에서 공간좌표에서 나온 1이라는 것은 단위가 없는 것 같아도 결국 그 어떤 공간상의 길이에 대한 상대값을 나타낸 것이라 그 역시 단위가 생략되어 있는 것 뿐(생략되었지만 구체적으로 무엇인지는 드러나지 않았죠)입니다. 반면 rad의 경우 한바퀴를 2phi 로 볼 때 그런 것입니다.
그런데 귀하는 두 개를 모두 l 로 표시하였는데 각도의 경우에 l은 구체적인 단위가 있고 길이의 l 은 없습니다. 각도의 경우 0.000000000000000000001 은 0.000000000000000000001 rad 이라고 구체적 量 이지만 길이의 0.000000000000000001은 숫자로는 작지만 실제론 수십 km 도 될 수 있고 수억 광녁도 될 수 있습니다. 애당초 동일하게 쓰일 수 없는 것을 같은 천칭에 달았다고 생각하지 않으신지요?
귀하의 증명의 가장 문제는 각도의 l은 구체적인 단위가 있는데 길이는 없다는 것입니다. 무엇에 대한 상대값이라는 것능 맞는데 그 무엇이 특정이 되지 않은 상태라 이거죠. 가령
우리가 극한을 취하기전에,
l(무단위 길이) + l(rad) = 2l 이라고 쓸 수는 있겠지요. 그러나 그것은 실질적으로 아무런 의미가 없습니다. 나아가,
l(무단위 길이) / l(rad) = 1 이라고 쓸수는 있겠지만, 실질적으로 아무런 의미도 없고 그것으로는 아무런 증명도 되지 않습니다. 왜냐면 극한을 취하기 전에 l=3 이란 숫자를 대입해 보면
3 + 3rad = 6, 3/3rad=1 이렇게 되고
사실은 그것은 l=2 일때도 l=0.0000000000000001 일 때도 마찬가집니다.
3 + 3rad = 6, 3/3rad=1 가 말이 안되는 것같이 당신이 l을 각도와 길이로 동시에 썼던 것도 애당초 말이 안되는 일이지요.
결론적으로 위 증명은 l_theta, l_length 로 놓고도 풀수 있는데 그렇게 한 사람에게 100점을 준다면 귀하식은 점수를 100점은 아니고 심하면 점수를 안주어도 상관이 없습니다.
Lunarist 2011/12/04 13:30 #
기하학에서도 말이 됩니다. 좌표계의 정의를 찾아 보면, 좌표계의 각 숫자는 단위 없이 그냥 쓰는 "실수"라고 되어 있습니다. 좌표계가 기하학이 아니라고 하지는 않으시겠지요.rad는 그냥 표시일 뿐이고, 한 바퀴를 2파이로 하여 나타낸 각은 그냥 실수일 뿐이라고 위에서 말한 바 있고, 지금 하는 것은 수학입니다. 수십 km이니 수십 광년이니 하는 순간 수학의 영역 바깥이란 말입니다.
강조하지만 전부 다 그냥 숫자일 뿐입니다.
제가 글로 쓴 것, 댓글로 단 것을 제대로 이해하신다면, TheodoricTheGreat님의 질문이 질문할 필요가 없는 것이라는 것을 알 수 있을 겁니다.
TheodoricTheGreat 2011/12/01 21:49 # 답글
그리고 님의-------------------
그런데, 발산의 정의에 '극한'이 있지요. 이 극한에 의하여, 앞에서 말한 특정한 범위의 크기가 한없이 작아지게 됩니다. 이 때는 그 특정한 범위는 오직 한 점밖에 포함할 수 없습니다.(한없이 작아진다는 것의 뜻을 생각해 보세요)
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이 말도 제 우둔한 머리로는 도무지 이해가 되지 않습니다. 아무리 극한으로 가더라도 두점 사이는 선으로 연결되지 점이 되지는 않습니다. 이른바 프랙탈 구조에 대해 들어보신적이 있으신지요. 육안으로는 직선으로 보여도 돋보기나 현미경으로 보면 그것이 노이즈가 많은 매우 복잡한 곡선일 수도 있다는 것이지요. 어떤 특정한 값이 두 점 사이에서 타당하다면 아무리 그 두 점 사이의 거리가 좁아져도 그 유효성은 역시 특정한 값에 그칠 뿐이라고 생각됩니다.
Lunarist 2011/12/02 01:11 #
자세하게 말씀드리죠. 2쪽에서 평균값의 정리를 사용했을 때, 특정한 범위는, a<x_2<a+L 과 같이, 선분에서 양 끝점을 제외한 형태로 나타나고, 이는 "순수한 선분"에서 양 끝점을 제외한 것입니다. 프랙탈에서 생각하는 대강 보면 직선이지만 확대해 보면 직선이 아닌 그런 게 "아닙니다." (a<x_2<a+L은 어떻게 읽어야 합니까?) 이런 상태에서, L이, 양수이면서, 0에 한없이 가까워진다면, x_2도 a에 한없이 가까워지게 됩니다. 그래서, 2쪽 6번째 수식에서 세번째 등호가 성립하게 되는 것이지요. 나머지도 모두 이와 같은 방식입니다."특정한 범위의 크기가 한없이 작아지면 그 특정한 범위는 오직 한 점밖에 포함할 수 없습니다."는 그 자체로는 맞는 말이지만, 이 경우에서 다루는 것과 미묘하게 조금 달라서, 이 경우에 대한 이유가 되지는 않네요. 부정확한 설명을 드린 듯합니다. 어쨌든 왜 맞는지 설명해 보죠. 특정한 범위가 한없이 작아지게 되어서, 그 특정한 범위는 오직 한 점밖에 포함한다는 것은, 선분의 길이가 한없이 작아지고, 한없이 0에 가까워지면,(두 말은 같은 말입니다) 선분에 포함되는 점은 하나밖에 없다는 이야기입니다.
http://ofhistory.egloos.com/290854#63365.08에 쓴 말을 반복하겠습니다. "TheodoricTheGreat님은 여러 번, 잘 모르면서 함부로 말하지 않는 것을 강조하고 계십니다. 그렇다면, TheodoricTheGreat님이 제게 궁금한 것을 질문하실 때, 조금 더 유보적인 태도로 말하는 것이 더 좋지 않을까요?" 어떤 것에 대한 의문은 좋은데, 그 의문이 그것이 틀렸다는 확신으로 흐르면 곤란합니다. 제가 프랙탈을 알지 못했기 때문에 그렇게 서술했다고 생각합니까? 아니거든요. 저는 분명 프랙탈을 알고 있고, 그 부분이 프랙탈과 상관이 없다는 것을 알기에 그렇게 서술한 겁니다.
TheodoricTheGreat 2011/12/02 05:30 #
내가 언제 단정적 태도로 귀하말을 부정했습니까? 귀하의 설명이 불충분하니까 해명을 요구하는데 "독단"적인 면을 보여서 그런 것이죠.자꾸 귀하는
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선분에 포함되는 점은 하나밖에 없다는 이야기입니다.
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이렇게 말씀하시는데 선분이라고 일단 정의되면 그것이 아무리 극한적으로 작더라도 두 점사이가 선분이란 특정곡선 형태로만 오로지 연결될 수 있다는 것도 독단인데다가 그 곡선 사이에 한점뿐이라고 누가 장담합니까?
Lunarist 2011/12/04 13:19 #
선분의 정의를 찾아보세요. 두 점을 최단 거리로 잇는 도형이 선분이고, 적어도 유클리드기하학에서는 두 점이 주어지면 선분은 특정한 한 가지 형태를 가집니다. 참인 명제를 참이라고 주장하는 것은 독단이 아니지요.제가 한 말을 다른 각도로 설명해 드릴까요? 0.1과 1은 차이가 꽤 나죠. 차이를 줄여 보면, 0.5와 1을 생각할 수 있지만, 차이가 줄어들긴 했어도 그 사이에 여러 가지 숫자가 존재하지요. 그러면 더 차이를 줄여서, 0.9와 1을 생각할 수 있고, 그 다음으로는 0.99와 1을 생각할 수 있고, 반복해서 0. 다음에 9가 n번 반복되는 수와 1을 생각할 수 있겠지요. 그럼에도, 두 수 사이에는 얼마든지 다른 수가 존재합니다. 이 때, n이 무한히 커지는 극한을 취해 보죠. 그러면 0.9999....와 1이 되는데, 두 수 사이에는 어떤 실수도 존재하지 않습니다. 0.9999...=1이니까요. 제가 증명에서 사용한 논리는 이것과 다르지 않습니다. 애초부터, "범위"라는 말은 숫자들의 모음일 뿐이고, 꼭 점들의 집합이나 선분, 평면 등으로 해석해야 할 필요가 없는 개념이에요.
요약하면, 0.9999... 이상 1 이하의 수가 하나밖에 없다는 것과, 제가 증명에서 사용한 논리는 같습니다. 하나가 틀리다면, 다른 하나도 틀려야 하죠. 그러면 TheodoricTheGreat님은 0.999... 이상 1 이하의 수가 둘 이상이라고 주장하시는 겁니까?
TheodoricTheGreat 2011/12/05 21:51 #
재밋군요.근데 갑자기 그이야기는 왜 하시는지. 그렇담, 0.9999999...=1 이고 전자이상 후자이하 수는 당연히 하나 밖에 없다. 세가지가 같다면 평균값 정리자체를 적용할 수 없겠는데요.
http://pds24.egloos.com/pds/201112/05/73/d0128773_4edcbce6c079f.png
(위키 영문판 http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem 에서)
폐구간(closed interval)과 개구간(open interval)이 뭔지 아시겠지요. 0.99999...와 1이 같아버리면 평균값정리를 적용할 여지가 없어지지 않습니까? 같은 값인데 그개 개구간 설정이 됩니까?
∴ 귀하의 제시한 증명(파일내)이 잘못된 것인지 모르겠지만 귀하가 제대로 이해하고 증명한 것은 아닐 가능성은 이번 댓글을 통해 아주 높아졌습니다. 충분히 능력이 있어보이시는데 고집이 되게 강하시군요. 잘못이 있으면 시인하면 되지 않겠습니까?
Lunarist 2011/12/06 01:08 #
0.9999...의 예를 통해 b보다 작거나 같은 a에 대하여 a가 b에 한없이 가까워지면, a 이상 b 이하인 어떠한 수도 b에 한없이 가까워진다는 것을 이야기했었지요.비슷하게, b보다 작거나 같은 a에 대하여 a가 b에 한없이 가까워질 때, a 초과 b 미만인 어떠한 수도 b에 한없이 가까워진다는 것도 참입니다. (제 글의 논리와 0.999...=1은 이 부분에서만 차이가 납니다. 이전에 댓글을 쓸 때는 이 부분을 미처 생각하지 못했군요.) 극한의 결과가 아니라, 극한의 과정 중에서 개구간이 성립할 수 있기만 하면 됩니다. 그 예가
http://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule#Zero_over_zero 의 Cauchy's mean value theorem now implies that there is a point ξx in (c, x) such that (...) If x approaches c, then ξx approaches c (by the squeeze theorem)
이고, 제 글에서 사용한 것과 같은 논리라는 것을 알 수 있을 겁니다.
잘못이 있다면 시인해야 하고, 제 글에도 잘못이 있을 수 있겠지만, 적어도 TheodoricTheGreat님이 지금 이야기하는 사안은 잘못이 아닙니다.
TheodoricTheGreat 2011/12/06 03:29 # 답글
살펴보니, 귀하의 <Divergence2>의 포스팅이 큰 무리는 없었던 듯합니다. 단, 단위가 다른 것을 혼용한 점은 분명 이상합니다. 전 잘못이라고 봅니다.문제는, 본인의 이상한 질문 <그리고 평균값정리란 a certain 좌표인 y1, z1, 등이 있다는 것인데 이것이 극한을 취해도 여전히 a certain으로 남을텐데 이것이 과연 증명된 것이 맞음?>에서 귀하가 조금 헤맸던 것 같군요.- 지금 생각하니 적분의 범위가 극히 작으니 당연히 "한점"으로 봐도 되지요. 물론 극한의 과정이 아니라 결과로만 그렇지만,,,
이에 대해 <이 때는 그 특정한 범위는 오직 한 점밖에 포함할 수 없습니다>란 말이 독단이었던 듯 싶군요. 이것이 틀린말인지 모르겠지만, 좀더 정확하게는
--> <그냥 극한-귀하식으로 말하면 과정이 아니라 결과-에서 다 같은 값으로 수렴한다>정도가 되었더라면 좋았었을것 같습니다.
지금생각하면 미묘한 뉘양스 차이정도라고 할까요? 재밌네요. 아무튼 저도 어느정도 이해가 갑니다. 사실 본인은 뭔가 작은 "혼동(?)"을 하고 있어서 처음 귀하의 분명한 증명을 이해하지 못하여서 사소하고 이상한 의문을 제기했던 것 같습니다.
반면, 귀하는 이후 헤메는 모습은 좋은 쪽으로 말하면 "쉽게 설명하려다가 한 실수" 정도로 봐도 될것 같군요. 좌우간 알겠습니다. 혼동이 바로잡히니 이해를 하겠습니다. 재밌었습니다^^
Lunarist 2011/12/09 00:34 #
어떤 것을 안다는 것보다, 그것을 명료하게 표현하는 것이 더 어려운 법이니까요. 즐거운 시간 되었습니다.